System binarny to system, dzięki któremu powstały maszyny cyfrowe w tym komputery. Komputer składa się z części elektronicznych, gdzie wymiana informacji polega na odpowiednim przesyłaniu sygnałów. Podstawą elektroniki jest prąd elektryczny, który w układach elektronicznych albo płynie albo nie. Komputer rozpoznaje sygnały i interpretuje płynący prąd jako 1, a jego brak jako 0. Operując odpowiednim ustawieniem, kiedy ma płynąc prąd, a kiedy nie, ustawia różne wartości zer i jedynek. Procesor konwertuje je na liczby i w ten sposób powstają czytelne dla nas obrazy, teksty, dźwięk itp.
Najprostszym układem pozycyjnym jest system binarny. Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1. Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym – jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: $$. Liczby zapisujemy jako ciągi cyfr (0,1), z których każda jest mnożną potęgi liczby $2$.
ai−1ai−2…a2a1a0=ai−1⋅2i−1+ai−2⋅2i−2+…+a2⋅22+a1⋅21+a0⋅20.
Aby odczytać wartość w systemie dziesiętnym liczby zapisanej w postaci binarnej należy skorzystać z powyższego wzoru. Np. liczba binarna 1010111=1⋅26+0⋅25+1⋅24+0⋅23+1⋅22+1⋅21+1⋅20=87
Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym na system dwójkowy można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 2 i spisywanie reszt z dzielenia. Podczas dzielenia można otrzymać reszty 0 albo 1. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją binarną liczby dziesiętnej.
Zamiana liczby dziesiętnej na binarną.
67÷2=33, reszty 1
33÷2=16, reszty 1
16÷2=8, reszty 0
8÷2=4, reszty 0
4÷2=2, reszty 0
2÷2=1, reszty 0
1÷2=0, reszty 1
67=1000011(2)
dziesiętnie / dwójkowo
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
| Schemat Hornera dla systemu binarnego |
|---|
| Wejście: ciąg cyfr binarnych Wyjście: W – wartość liczby reprezentowanej przez ciąg cyfr binarnych K01: W pierwsza cyfra K02: Dopóki są kolejne cyfry, wykonuj W ← 2 × W + kolejna cyfra K03: Zakończ |
Obliczyć schematem Hornera wartość liczby binarnej 111010111101(2)
cyfra 1: W = 1
cyfra 1: W = (1 + 1) + 1 = 3
cyfra 1: W = (3 + 3) + 1 = 7
cyfra 0: W = (7 + 7) + 0 = 14
cyfra 1: W = (14 + 14) + 1 = 29
cyfra 0: W = (29 + 29) + 0 = 58
cyfra 1: W = (58 + 58) + 1 = 117
cyfra 1: W = (117 + 117) + 1 = 235
cyfra 1: W = (235 + 235) + 1 = 471
cyfra 1: W = (471 + 471) + 1 = 943
cyfra 0: W = (943 + 943) + 0 = 1886
cyfra 1: W = (1886 + 1886) + 1 = 3773 – koniec